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4.2 Graubildoperationen

Es werden die Grauwerte eines Bildpunktes manipuliert in Abhängigkeit von den Grauwerten der benachbarten Bildpunkte.
Eine solche Operation läßt sich oft durch eine (2k + 1) × (2k + 1) Faltungsmatrix M formulieren, deren Koeffizienten mit den Grauwerten g der zu x,y benachbarten Pixel multipliziert werden, die Produkte aufaddiert und mit einer multiplikativen Konstante c gewichtet werden (typischerweise der Kehrwert der Summe der Koeffizienten).






Weichzeichner (9 Punkte Gaußfilter)



                       
Zeile: 4 4 5 4 4 5 6 7 8 9 9
gefaltet mit ${\frac{1}{4}}$(1 2 1)   4.25 4.5 4.25 4.25 5 6 7 8 8.75  
                       

Offenbar können Grauwerte entstehen, die vorher nicht im Bild enthalten waren.
Außerdem verringert sich die Kantensteilheit.

Medianfilter
Beide Effekte vermeidet der nicht-lineare Medianfilter, der den Grauwert an der Stelle x,y durch den Median der umgebenden Grauwerte ersetzt.

                       
Zeile: 4 4 5 4 4 5 6 7 8 9 9
geglättet   4 4 4 4 5 6 7 8 9  
                       

Kantendetektion / Pseudoplastische Darstellung
Betrachte diskrete Ableitung 1. Ordnung:





Für $\Delta$ = 1 $\Rightarrow$  
f'(x0) = f (x0) - f (x0 - 1) (Rückwärtsgradient)
f'(x0) = f (x0 + 1) - f (x0) (Vorwärtsgradient)
f'(x0) = ${\frac{f (x_{0} + 1) - f (x_{0} - 1 )}{2}}$ (Gradient)
     

$\Rightarrow$ eindimensionale Faltungsmatrix lautet ${\frac{1}{2}}$(- 1 0 1)

Durch Anwendung dieser Faltung wird eine Helligkeitszunahme durch Weiß, eine Helligkeitsabnahme durch Schwarz signalisiert:


                           
Zeile: 4 4 4 4 5 6 6 6 5 4 4 4 4
gefaltet:   0 0 0.5 1 0.5 0 - 0.5 - 1 - 0.5 0 0  
                           

Im 2-dimensionalen Fall entsteht




Prewitt-Operator zur Verstärkung
senkrechter Kanten





Prewitt-Operator zur Verstärkung
waagerechter Kanten







Sobel-Operator zur Verstärkung
senkrechter Kanten





Sobel-Operator zur Verstärkung
waagerechter Kanten




Scharfzeichner / Kontrastverstärkung
Betrachte diskrete Ableitung 2. Ordnung.

f'(x0) = f (x0) - f (x0 - 1) (Rückwärtsgradient)
f''(x0) = f'(x0 + 1) - f'(x0)
  = [f (x0 + 1) - f (x0)] - [f (x0) - f (x0 - 1)]
  = f (x0 + 1) - 2 · f (x0) + f (x0 - 1)

$\Rightarrow$ eindimensionale Faltungsmatrix lautet (1 - 2 1)

Zur Kontrastverstärkung wird von den ursprünglichen Grauwerten die 2. Ableitung subtrahiert. Dadurch wird bei Beginn eines Helligkeitszuwachses abgedunkelt und bei Ende eines Helligkeitszuwachses aufgehellt.

Im 2-dimensionalen Fall entsteht als Summe der beiden partiellen Ableitungen der Laplace-Operator:



Subtraktion von der (stärker gewichteten) Ausgangsmatrix liefert





Beispiel für eindimensionale Kontrastverstärkung



Gaußscher Weichzeichner

verwackelt



pseudoplastisch

kristallisiert
Gefilterte Versionen eines Grauwertbildes im Format 108 × 157.

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