4.3 Fourier-Transformation

Fourier (1768-1830) stellte periodische Funktionen als Überlagerung von harmonischen Schwingungen dar.
Sei f (x) eine eindimensionale periodische Funktion mit Periode T = 2$\pi$ . Dann läßt sich f darstellen als

Die Koeffizienten sind definiert durch

und bestimmen die Amplituden der harmonischen Schwingungen.

Motivation:

1.

Details im Ortsraum entsprechen den hohen Frequenzen im Frequenzraum, die bei Kompressionsverfahren wegfallen dürfen.

2.

Gewisse Bildmanipulationen lassen sich effizienter im Frequenzraum durchführen.

Zum Rechnen nutzt man die Euleridentität aus

Daraus ergibt sich

mit

Betrachtet man Perioden - l < x < l, l $\rightarrow$ $\infty$ , so erhält man die Fouriertransformierte zu f

aus der sich f rekonstruieren läßt durch

Die diskrete Fouriertransformation bildet f (0),f (1),...,f (N - 1) ab auf

Für den 2-dimensionalen Fall gilt

Realteil R und Imaginärteil I lassen sich mit Hilfe der Euler-Identität ausrechnen.

Das Amplitudenspektrum ergibt sich als

und kann durch ein Grauwertbild visualisiert werden (hell = hohe Amplitude, dunkel = niedrige Amplitude, ggf. logarithmische Skalierung, ggf. tiefe Frequenzen in den Bildmittelpunkt verschieben).

Das Phasenspektrum ergibt sich als

Approximation einer Sägezahnfunktion durch eine Reihe von Sinus-Funktionen

for (u=0; u < M; u++)
for (v=0; v < N; v++)
{
    real = 0.0;
    imag = 0.0;

    for (x=0; x < M; x++)
    for (y=0; y < N; y++)
    {
        real += f[x][y] * cos(-2.0 * PI * (u*x/(double)M + v*y/(double)N));
        imag += f[x][y] * sin(-2.0 * PI * (u*x/(double)M + v*y/(double)N));
    };

    amplitude [u][v] = sqrt(real*real + imag*imag);
}

C-Programm zur Berechnung des Fourier-Amplitudenspektrums amplitude
aus den Grauwerten eines M x N Bildes f (mit double-Einträgen)

Ortsbereich

Amplitudenspektrum

Fouriertransformation bei einem Grauwertbild im Format 108 x 157.

Eliminierung der feinen und groben Strukturen im Ortsbereich (A,C,E)
durch Multiplikation mit einem Ring mittlerer Frequenz im Frequenzbereich (B,D,F)

Detektion von Nord/West-Sued/Ost Geraden im Ortsbereich (A,C,E)
durch Multiplikation mit einem geeigneten Keil im Frequenzbereich (B,D,F)