7.3 Bézier-Kurven

Spezifiziere die Kurve durch n + 1 Stützpunkte P₀,P₁,...,P_n . Die Kurve läuft nicht durch alle Stützpunkte, sondern wird von ihnen beeinflußt.

Der Punkt P_i wird gewichtet mit Hilfe eines Bernstein-Polynoms.

Verlauf der Bernsteinpolynome für n=3

Die wichtigsten Eigenschaften der Bernsteinpolynome:

• alle Bernsteinpolynome sind positiv auf [0,1] ,
• für jedes feste t gilt B_i,n(t) = 1 ,
• B_i,n(t) = B_{n - i,n}(1 - t) ,
• = n · (B_{i - 1,n - 1}(t) - B_{i,n - 1}(t)),i > 0,
• Maxima von B_i,n(t) in [0,1] an den Stellen t = ,i = 0,...,n .

Da alle Bernsteinpolynome für 0 < t < 1 ungleich Null sind, beeinflussen alle Stützpunkte in diesem Intervall den Kurvenverlauf.

Die Kurve beginnt im Stützpunkt P₀ tangential zur Geraden , endet im Stützpunkt P_n tangential zur Geraden und verläuft innerhalb der konvexen Hülle der Stützpunkte. Somit können mehrere Bézier-Kurven aneinandergesetzt werden durch Identifikation von Endpunkt und Anfangspunkt aufeinanderfolgender Bézierkurven. Einen stetig differenzierbaren Übergang erreicht man bei Kollinearität der Punkte P_{n - 1},P_n = Q₀,Q₁ .

Berechnung der Bézier-Kurve nach de Casteljau

Um die aufwendige Auswertung der Bernsteinpolynome zu vermeiden, wurde von de Casteljau ein Iterationsverfahren vorgeschlagen, welches durch fortgesetztes Zerteilen von Linien den gewünschten Kurvenpunkt approximieren kann.

Es gilt:

wobei die tiefgestellten Indizes angeben, welche Stützpunkte in die Berechnung einfließen. D.h. eine Bézier-Kurve vom Grad n läßt sich durch zwei Bézier-Kurven vom Grad n - 1 definieren, indem für ein festes t die Punkte beider Kurven berechnet werden, und die Verbindungsstrecke im Verhältnis t geteilt wird.

Approximation einer Bezier-Kurve nach de Castelau

Abbildung 7.3 zeigt die Berechnung eines Kurvenpunktes für t = . Die Indizes geben an, welche Stützpunkte beteiligt sind. Abbildung zeigt das Ergebnis dieser Iteration für zwei aneinanderliegende Bézierkurven bei Rekursionstiefe 3.

Vom De Casteljau-Algorithmus mit Rekursionstiefe 3 gezeichnete Bezierkurven

/*************************************************************************************/
/*                                                                                   */
/*                   Zeichnen einer Bezierkurve 3. Grades nach De Casteljau          */
/*                                                                                   */
/*************************************************************************************/

private void bezier(                            // Zeichne Bezierkurve 3. Grades
                     double px0, double py0,    // anhand des Stuetzpunktes p0
                     double px1, double py1,    // anhand des Stuetzpunktes p1
                     double px2, double py2,    // anhand des Stuetzpunktes p2
                     double px3, double py3,    // anhand des Stuetzpunktes p3
                     int depth)                 // aktuelle Rekursionstiefe
{
        double qx01,qy01,qx12,qy12,qx23,qy23,qx012,qy012,qx123,qy123,qx0123,qy0123;
                                                // Hilfspunkte

        if (depth > iter)                       // Iterationstiefe erreicht
             set_line(new Point( (int)px0, (int)py0), new Point( (int)px3, (int)py3));
        else {
                depth++;

                qx01   = (px0+px1)/2;     qy01   = (py0+py1)/2;
                qx12   = (px1+px2)/2;     qy12   = (py1+py2)/2;
                qx23   = (px2+px3)/2;     qy23   = (py2+py3)/2;
                qx012  = (qx01+qx12)/2;   qy012  = (qy01+qy12)/2;
                qx123  = (qx12+qx23)/2;   qy123  = (qy12+qy23)/2;
                qx0123 = (qx012+qx123)/2; qy0123 = (qy012+qy123)/2;

                bezier (px0,py0,qx01,qy01,qx012,qy012,qx0123,qy0123,depth);
                bezier (qx0123,qy0123,qx123,qy123,qx23,qy23,px3,py3,depth);
        }
}