Subsections

• Codierung
• Operatoren
• Konstantenbezeichner

Gleitkommazahlen (float, double)

Die Typen float und double dienen zur Speicherung von Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754-1985 in der Form Vorzeichen, Exponent, Mantisse.

Codierung

Bei der Codierung für 32 Bits (float) benötigt das Vorzeichen 1 Bit, der Exponent 8 Bits, die Mantisse 23 Bits.

X XXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Vorzeichen s Exponent e Mantisse f

=

Bei einer normalisierten Darstellung liegt der Wert der Mantisse 1.f im Intervall [1,2[ .

Hierbei haben Dualzahlen nach dem Komma

0.d_{- 1}d_{- 2}d_{- 3}...d_{- k}d_i · 2ⁱ

Algorithmus dezimal dual:

Sei Dezimalzahl x gegeben. Bestimme größte 2 -er Potenz 2^d mit 2^d x . Setze f = (x - 2^d)/2^d. Offenbar gilt

x = (1 + f ) · 2^d0 f < 1.

Bestimme die Dualzahl-Bits von f durch

for (i = 0; i < 23; i++) {
   f = f * 2.0;
   if (f >= 1.0) {IO.print('1'); f = f - 1.0;}
      else IO.print('0');
}

Beispiel:

Sei x = 13.5 gegeben. Als Codierung ergibt sich

s = 0

f =

e = 3 + 127 = 130

0 10000010 10110000000000000000000

Vorzeichen Exponent Mantisse

Bei einer subnormalisierten Darstellung liegt der Wert der Mantisse 0.f im Intervall [0,1[ .

Exponent e = 0 und Mantisse f = 0 repräsentieren die vorzeichenbehaftete Null. Exponent e = 255 und Mantisse f = 0 repräsentieren das vorzeichenbehaftete Unendlich( + , - ). Exponent e = 255 und Mantisse f 0 repräsentieren die undefinierte Zahl NaN (not a number).

Beispiel: 2^{- 130} = 1/16 · 2^{- 126}

Daraus folgt

s = 0

f = 0.0625 = 1/16

e = 0

Codierung

0 00000000 00010000000000000000000

Vorzeichen Exponent Mantisse

Die größte darstellbare positive Zahl liegt knapp unter

2 · 2^{254 - 127} = 2¹²⁸ 10³⁸

0 11111110 11111111111111111111111

Vorzeichen Exponent Mantisse

Die kleinste darstellbare positive Zahl lautet

2^{- 23} · 2^{- 126} = 2^{- 149} 10^{- 45}

0 00000000 00000000000000000000001

Vorzeichen Exponent Mantisse

Bei der Codierung für 64 Bits (double) benötigt das Vorzeichen 1 Bit, der Exponent 11 Bits, die Mantisse 52 Bits.

X XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Vorzeichen s Exponent e Mantisse f

=

Damit liegt die größte darstellbare positive Zahl knapp unter

2 · 2^{2046 - 1023} 10³⁰⁸

Die kleinste darstellbare positive Zahl lautet

2^{- 52} · 2^{- 1022} = 2^{- 1074} 10^{- 324}

Operatoren

+ : Gleitkomma × Gleitkomma Gleitkomma Addition

- : Gleitkomma × Gleitkomma Gleitkomma Subtraktion

* : Gleitkomma × Gleitkomma Gleitkomma Multiplikation

/ : Gleitkomma × Gleitkomma Gleitkomma Division

% : Gleitkomma × Gleitkomma Gleitkomma Modulo

++ : Gleitkomma Gleitkomma Inkrement um 1.0

-- : Gleitkomma Gleitkomma Dekrement um 1.0

Multiplikation: (Exponenten addieren, Mantissen multiplizieren)

Beispiel: 12 * 20 =

1.5 · 2³ * 1.25 · 2⁴ =

1.5 · 1.25 * 2³ · 2⁴ =

1.875 * 2⁷ = 240

Addition: (Exponenten angleichen, Mantissen addieren)

Beispiel: 12 + 20 =

1.5 · 2³ + 1.25 · 2⁴ =

0.75 · 2⁴ + 1.25 · 2⁴ =

(0.75 + 1.25) * 2⁴ =

1 * 2⁵ = 32

Problem beim Angleichen der Exponenten:

Beispiel: 1024 + =

1 · 2¹⁰ + 1 · 2^{- 20} =

1 · 2¹⁰ + 2^{- 30} · 2¹⁰ =

1 · 2¹⁰ + 0 · 2¹⁰ = 1024

Bei 23 Bits für die Mantisse ist 2^{- 30} nicht mehr darstellbar.

Gleitkommaoperationen stoßen in Java keine Ausnahmebehandlung an. D.h., Division durch Null führt nicht zum Abbruch, sondern ergibt den Wert + bzw. - ; Null dividiert durch Null ergibt NaN (not a number).

Konstantenbezeichner

Beispiele: .2 2 2. 2.0 2.538 2.538f

2.5E2 = 2.5*10² = 250

2.5E-2 = 2.5*10^{- 2} = 0.025

Source: Gleitkomma.java     JavaDoc: Gleitkomma.html     Applet: