Rotation

Rotation um die $z$-Achse

$$\begin{eqnarray*} x'&:=&x \cdot \cos (\delta )-y \cdot \sin ( \delta )\\ y'&:=&x \cdot \sin (\delta )+y \cdot \cos ( \delta )\\ z'&:=&z \end{eqnarray*}$$

Die daraus resultierende Transformationsmatrix lautet:

$$R_{z}(\delta)= \left( \begin{array}{cccc} \cos (\delta ) & -... ...0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)$$

Rotation um die $x$-Achse

$$\begin{eqnarray*} x'&:=&x \\ y'&:=&y \cdot \cos ( \delta )-z \cdot \sin (\delta )\\ z'&:=&y \cdot \sin ( \delta )+z \cdot \cos (\delta ) \end{eqnarray*}$$

Die daraus resultierende Transformationsmatrix lautet:

$$R_{x}(\delta)= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0... ... ) & \cos (\delta ) & 0\\ 0 & 0 & 0 &1\\ \end{array} \right)$$

Rotation um die $y$-Achse

$$\begin{eqnarray*} x'&:=&z \cdot \sin ( \delta )+x \cdot \cos (\delta )\\ y'&:=&y\\ z'&:=&z \cdot \cos ( \delta )-x \cdot \sin (\delta ) \end{eqnarray*}$$

Die daraus resultierende Transformationsmatrix lautet:

$$R_{y}(\delta)= \left( \begin{array}{cccc} \cos(\delta) & 0 &... ...0 & \cos (\delta ) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)$$

Rotation um eine beliebige Achse

Voraussetzung: Die Rotationsachse stimme nicht mit einer der Koordinatenachsen überein.

Idee:

Transformiere Rotationsachse und Objekt so, daß die Rotationsachse mit der $z$-Achse übereinstimmt, rotiere um vorgegebenen Winkel $\delta$, transformiere zurück.

1. Translation von Rotationsachse (und Objekt), so daß die Rotationsachse durch den Ursprung läuft.
2. Rotation der Rotationsachse um die $x$-Achse in die $x z$-Ebene.
3. Rotation der Rotationsachse um die $y$-Achse in die $z$-Achse.
4. Rotation des Objekts um die $z$-Achse mit Winkel $\delta$.
5. Rücktransformation des gedrehten Objekts durch Anwendung der inversen Transformationen der Schritte (3), (2) und (1).

Ist die Rotationsachse durch die Punkte $P_{1}, P_2$ gegeben, so gilt

$$\vec{v}=P_2 - P_1= \left( \begin{array}{c} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{array}\right) .$$

Die Länge dieses Vektors lautet

$$\vert\vec{v}\vert= \sqrt { {(x_{2}-x_{1})}^{2} +{( y_{2}-y_{1})}^{2} +{(z_{2}-z_{1})}^{2}} .$$

Die Komponenten des zugehörigen Einheitsvektors

$$\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\vert\vec{v}\vert}= \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right), \vert\vec{u}\vert = 1$$

lauten daher

$$a= \frac{x_2-x_1}{\vert\vec{v}\vert}, ~ b= \frac{y_{2}-y_{1}}{\vert\vec{v}\vert}, ~ c= \frac{z_{2}-z_{1}}{\vert\vec{v}\vert}.$$

Schritt 1 läßt sich durch die Translation $T(- x_{1}, -y_{1}, -z_{1})$ durchführen. Dadurch wird $P_1$, Ausgangspunkt des Einheitsvektors $\vec{u}$, in den Ursprung verschoben.

Für Schritt 2 sind Sinus und Cosinus des Rotationswinkels $\alpha$ erforderlich, der zwischen der Projektion $\vec{u}'$ von $\vec{u}$ auf die $y z$-Fläche und der $z$-Achse, repräsentiert durch den Vektor $\vec{u_z} =(0 \;0 \; 1)^T$, liegt.

$\Rightarrow \cos (\alpha ) =\frac{c}{d}$
$\Rightarrow \sin (\alpha ) = \frac{b}{d}$

Nach Schritt 2 befindet sich der ursprüngliche Vektor $\vec{u}$ als $\vec{u}''$ in der $x z$-Ebene:

Für Schritt 3 (Rotation um $y$-Achse) benötigt man Sinus und Cosinus des Rotationswinkels $\beta$. Positive Winkel ergeben eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn, wenn man aus Richtung der Positiven $y$-Achse auf die $x z$-Ebene schaut:

$\Rightarrow \cos (\beta )= \cos (360^{\circ}-\beta )=d$
$\Rightarrow \sin (\beta )= -\sin (360^{\circ}-\beta )=-a$

Nach den ersten drei Schritten ist die Drehachse mit der $z$-Achse identisch, so daß Schritt (4) mit der Rotationsmatrix $R_z(\delta)$ durchgeführt werden kann. Schritt (5) beinhaltet die Anwendung der inversen Transformationen.

Die Rotation um die Achse $\vec{v} = \overline{P_1 P_2}$ um den Winkel $\delta$ läßt sich daher wie folgt darstellen:

$$R(\vec{v}, \delta) = T(P_1) R_x^{-1}(\alpha) \cdot R_y^{-1}(... ...\delta) \cdot R_y(\beta) \cdot R_x(\alpha) \cdot T(-P_1) \cdot$$