Matrixinversion

Analog zum zweidimensionalen Fall werden die dreidimensionalen Transformationen durch Verknüpfung homogener Koordinaten mit $4 \times 4$-Transformationsmatrizen dargestellt.

Sei $A = (a_{ik})$, $1 \leq i, k \leq 4$, eine $4 \times 4$-Matrix:

$$A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_... ...{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} \right)$$

Ist $D = det\;A = \vert a_{ik} \vert$ die Determinante von $A$, so bezeichnet man als Unterdeterminante des Elementes $a_{ik}$ diejenige 3-reihige Determinante, die aus $D$ durch Streichen der $i$-ten Zeile und der $k$-ten Spalte hervorgeht. Unter der Adjunkten $A_{ik}$ des Elementes $a_{ik}$ versteht man die mit dem Faktor $(-1)^{i+k}$ versehene Unterdeterminante von $a_{ik}$.

Beispiel:

$$A_{23} = - \left\vert \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a... ...{44} - a_{34} a_{41}) + a_{14}(a_{31} a_{42} - a_{32} a_{41})]$$

Die Adjunkten sind nützlich zur Berechnung der Determinanten von $A$ sowie der inversen Matrix $A^{-1}$ (sofern diese existiert!):

$$\hbox{det }A = \sum_{k=1}^4{a_{1k}A_{1k}} \hspace{1cm} A^{-1... ...{43} \\ A_{14} & A_{24} & A_{34} & A_{44} \end{array} \right)$$