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14.3.2 Schiefe Projektionen

Bei den schiefen Parallelprojektionen stehen die Sehstrahlen nicht normal auf der Bildebene, sondern schneiden sie unter dem Winkel (Abbildung 14.5 ). Die schiefe Projektion auf die xy -Ebene entspricht einer Scherung der x - und y -Koordinaten proportional zu z .


Bildebene bei der schiefen Projektion

Seien P0 = (x,y,0) die orthogonale und P' = (x',y',0) die schiefe Projektion von Punkt P = (x,y,z) . Sei L die Entfernung von P0 nach P' . Dann gilt

Wegen tan() = folgt

Der Winkel regelt im projizierten Bild das Verhältnis von x -Ausdehnung zu z -Ausdehnung.

Die Koordinaten zweier projizierter Punkte P'1 , P'2 lauten:

Für zwei Punkte, die sich nur bzgl. ihrer z -Koordinaten unterscheiden, betragen die Abstände ihrer Bilder in x - bzw. y -Richtung

für den Abstand

ergibt sich

wegen

Für die Berechnung der Transformationsmatrix benötigt der Algorithmus den Verkürzungsfaktor d und den Scherwinkel . d gibt an, um welchen Faktor zur Bildebene normal stehende Strecken verkürzt werden. Es gilt

definiert den Winkel zur Horizontalen, unter dem diese Kanten aufgetragen werden. Für die Koordinaten des so projizierten Punktes P = (x,y,z,1) gilt

Die entsprechende Transformationsmatrix lautet

Für d = 0 ( = 90 o ) ergibt sich daraus die orthogonale Projektion. Bei schiefen Projektionen ist der Wert für d immer ungleich Null.

Zwei häufig als Ersatz für Perspektive verwendete Projektionen haben die Werte d = 1 ( = 45 o ), = 35 o (Kavalierprojektion) und d = 0.5 ( = 63.43 o ), = 50 o (Kabinettprojektion). Bei der Kavalierprojektion werden alle auf der Bildebene normal stehenden Strecken unverkürzt abgebildet. Bei der Kabinettprojektion ergibt sich eine Verkürzung auf die Hälfte ihrer ursprünglichen Länge.


Zwei schiefe Projektionen


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