Anwendung des Kreuzprodukts

Gegeben sei eine Fläche durch 3 nicht kollineare Punkte P₁,P₂,P₃ .

Der Vektor (P₂ - P₁) × (P₃ - P₁) bildet den Normalenvektor zur Fläche.
Ist eine Ebene durch ihre Ebenengleichung Ax + By + Cz + D = 0 gegeben, so ergibt sich der Normalenvektor als (A,B,C) .
Ist ein Normalenvektor (A,B,C) gegeben, so errechnet sich D durch Einsetzen eines beliebigen Punktes der Ebene.
Ein Punkt (x,y,z) liegt

``oberhalb'' der Ebene, falls Ax + By + Cz + D > 0

``unterhalb'' der Ebene, falls Ax + By + Cz + D < 0

in der Ebene, falls Ax + By + Cz + D = 0

Def.:

Gegeben seien zwei n -dimensionale Vektoren v,w .
Das Skalarprodukt lautet:

Für Vektoren a,b,c und s gilt:

a · b = b · a (Symmetrie)

(a + c) · b = a · b + c · b (Linearität)

(sa) · b = s(a · b) (Homogenität)

|b| = (euklidische Norm)