Interpretation

Mirko Belickin und Joachim Wagner
Aufgabenblatt 08 (Rechneraufgabe 04)

Vergleich der natürlichen mit der periodischen Splineinterpolation

An den Rändern der Intervalle findet sich der größte Unterschied. Man erkennt im Graphen deutlich, wie bei der periodischen Splineinterpolation die Stetigkeit zur nächsten Periode in der ersten Ableitung erzwungen wird. Die Interpolationsbedingung y1 = yn+1 fü periodische Splines äußert sich darin, daß Funktion 2 im Intervall [-9,9] nicht periodisch interpoliert werden kann.

In der Koeffizientenmatrix sieht man die Stetigkeit in der zweiten Ableitung. Beispielsweise betrachten wir die Funktion 3 mit n=7 (siehe Tabelle weiter unten): Beim ersten Polynom wird die Stelle 0 betrachtet. Die zweite Ableitung ist also ca. 0. In das letzte Polynom muß die Breite der Splineintervalle eingesetzt werden, um die rechte Gesamtintervallgrenze zu betrachten: 6*(-1,916515)*(0.6/7) + 2*0,492818 = -2,85712 * 10-7 ist im Rahmen der Genauigkeit 0.

Betrachtet man untere Koeffizientenmatrizen genauer, so fällt auf, daß die Randbedingungen auch Einfluß auf die inneren Splineintervalle haben. Bei der betrachteten Funktion 3 für n=7 (äquidistante Stützstellen) unterscheiden sich selbst die mittleren Splineintervalle im zweiten und dritten Koeffizienten um ca. 4%. Allerdings ist diese Abweichung im Graphen nicht mehr mit bloßem Auge zu erkennen. Die stärkeren Abweichungen im zweiten und vorletzten Intervall sind dagegen deutlich sichtbar.
natürlichperiodisch 
Matrix 'Koeffizientenmatrix':
 1.916515  0.000000 -1.014077  0.300000
-9.584162  0.492818 -0.971836  0.214286
   36.423 -1.971681 -1.098595  0.128571
 0.000000  7.394313 -0.633798  0.042857
  -36.423  7.394313  0.633798  0.042857
 9.584162 -1.971681  1.098595  0.128571
-1.916515  0.492818  0.971836  0.214286

Matrix 'Koeffizientenmatrix':
  102.912   -20.488   8.7e-17  0.300000
  -36.516  5.975430 -1.243905  0.214286
   43.156 -3.414473 -1.024395  0.128571
 0.000000  7.682871 -0.658532  0.042857
  -43.156  7.682871  0.658532  0.042857
   36.516 -3.414473  1.024395  0.128571
 -102.912  5.975430  1.243905  0.214286
(Ausgabe mittels for I in 3a?7.cof; do tail -8 $I; done.)

Vergleich der Spline- mit der Polynominterpolation

Zur Polynominterpolation sind die Unterschiede größer. Insbesondere das starke Ausschlagen der Interpolationspolynome höheren Grades bei der Polynominterpolation tritt bei der Splineinterpolation nicht auf, da nur Polynome dritten Grades verwendet werden. Wenn die Stetigkeit in der ersten und zweiten Ableitung nicht gefordert wäre, würde die Splineinterpolation nur Funktionswerte zwischen den benachbarten Stützwerten liefern. Gut beobachten kann man diesen Effekt bei der Funktion 4 für n=4 und n=10. Die große Steigung in den mittleren Intervallen drückt den Funktionsgraphen in den Nachbarintervallen unter die X-Achse.

Gemeinsamkeiten

Bei allen untersuchten Interpolationsverfahren ist die Wahl der Stützstellen sehr wichtig. Beispielweise betrachte man die Funktion 4 für n=7:
  äquidistante Stellen Tschebyscheff-Stellen
Stützwerte 
0.012195
0.023626
0.062982
0.376923
0.376923
0.062982
0.023626
0.012195

0.012195
0.014981
0.030781
0.199570
0.199570
0.030781
0.014981
0.012195
Spline
Polynomiell
Da das Extremum der zu approximierenden Funktion nicht als Stützpunkt zur Verfügung steht, wird nur ein deutlich niedrigerer Wert (äquid. 0,438 bwz. 0,437 und Tschebyscheff 0,239 bzw. 0,245) erreicht.
Letzte Änderung: 09. Dezember 1999
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