Länge und Kreuzprodukt

Gegeben sei ein 3D-Vektor

$$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right)$$

Seine Länge ist definiert als

$$\vert\vec{v}\vert:= \sqrt { v_{1}^{2}+ v_{2}^{2}+ v_{3}^{2} }$$

Gegeben seien zwei 3D-Vektoren

$$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{arr... ...= \left( \begin{array}{c} w_1\\ w_2\\ w_3 \end{array}\right)$$

Das Kreuzprodukt von $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist definiert als

$$\vec{v} \times \vec{w} = \left( \begin{array}{c} v_{2} \cdot... ...3}\\ v_{1} \cdot w_{2} - v_{2} \cdot w_{1} \end{array}\right)$$

Der Vektor $\vec{v} \times \vec{w}$ steht senkrecht auf $\vec{v}$ und steht senkrecht auf $\vec{w}$. Seine Länge entspricht der Fläche des durch $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aufgespannten Parallelogramms, d.h.

$$\vert\vec{v} \times \vec{w}\vert = \vert\vec{v}\vert \cdot \vert\vec{w}\vert \cdot \sin (\alpha)$$

In einem rechtshändigen Koordinatensystem entspricht bei gespreizten Fingern der Daumen $\vec{v}$, der Zeigefinger $\vec{w}$, der Mittelfinger $\vec{v} \times \vec{w}$.